På slutten av forrige leksjon fekk vi ei utfordring. Korleis vi kan vite at når a er eit teljetal, så kan vi skrive:

(*)     a+1 = a’    der a er kva (telje)tal som helst

Altså, når vi legg 1 til eit tal a, så får vi det neste talet, det som kjem etter a. Kvifor er det slik? Å svare kan vere vanskeleg fordi det på sett og vis er ein del av oss. Men om vi seier, “det er jo heilt opplagt at det er slik”, så har vi korkje svart eller forklart. Det var jo difor vi kunne skrive som vi gjorde i dei førre blogginnlegga, altså fordi desse tinga var heilt opplagte for oss.

Husk, skal vi forklare noko, så må vi ha noko å forklare med. Vi må ha eit utgangspunkt. Og når dette ikkje er klart, så vil vi søkje i blinde og kjem ingen veg. Men kva er så utgangspunktet vårt? Då vi stilte problemet, så sa vi ikkje noko om det. Så reint praktisk sett, så blir det og ein del av problemet. Men det eg tenkte og håpa på, var at det skulle gå fram av det eg har skrive, at vi startar med at vi kan telje. Vi byggjer på at vi kan telje.

La oss tenkje på ein enkel situasjon. Per kjem inn i stova med ei skål med frukt. Det er 6 frukter i skåla. Korleis skal du finne ut kor mange frukter det er i skåla? Jo, du tel dei. Så kjem Anne inn like etter og seier, “du gløymde denne bananen”, og så legg ho bananen oppi skåla saman med dei andre fruktene. Kor mange frukter er det no i skåla? Du tel dei, og når du no har talt så langt som til 6, så er det ei frukt til som må teljast. Du tel altså så langt som til talet etter 6. Talet på frukter er altså 6′ = 7.

Dette kan vi gjengi matematisk slik: (1) Det å leggje ei frukt til dei 6 som var i skåla, skriv vi 6+1. Det er ein operasjon. (2) Resultatet blei at det nye talet på frukter blei 6′, (som er lik 7). (3) I alt får vi då at  6+1 = 6′ , for med 6+1 skal vi meine talet på frukter etter at det kom ei frukt meir i skåla.

Denne situasjonen er så enkel og oversiktleg at du lett kan tenkje deg at skåla inneheld a frukter. Altså vi spesifiserer ikkje kor mange frukter det er i skåla. Vi nyttar berre bokstaven a til å symbolisere talet. (Kor mange det er finn du ut ved å telje. Tenk deg at du hat talt, men så gløymde du det ut med det same). Etter at det så har kome ei frukt til i skåla og du (tenkjer deg at du) tel på nytt, så er det ei frukt att å telje når du har talt til a frukter. I alt tel du altså no a’ frukter.

Då får vi altså at a+1= a’. Tankegongen er som i stad, berre at vi i staden for at det var 6 frukter i skåla, no tenkjer oss at det er a frukter, eit uspesifisert tal. Så når vi no skriv a+1, så er dette uttrykk for at vi har lagt ei frukt til i skåla. Talet vi får er det same som a’, det vi talte til etter at ei frukt til blei lagt oppi.

Når vi då skriv a+1 så meiner vi altså det talet som kjem etter a, vi meiner a’. Så matematisk sett så er svaret på kvifor a+1 = a’, at det er slik a+1 er definert. Vi har altså ein definisjon.

Å definere noko tyder å seie kva vi meiner med det vi seier at vi definerer. Sjølve ordet definere tyder å avgrense. Når vi definerer noko, så avgrensar vi kva meininga er med det ordet vi vil definere. I matematikk er dette utan problem for der har vi berre klare omgrep. Vi kjem tilbake til dette seinare, korleis vi skriv matematikk som matematikk.

Det er no på tide å kome lenger enn berre å rekne ut a+1. Men når vi skal rekne ut a+2, a+3 osb, så byggjer vi framleis  på idéen som vi nytta då vi definert a+1 som a’.
Vi veit no at a+1 = a’. Når vi så skal rekne ut a+2, så skjønar vi at det berre er å telje ein vidare frå talet a+1. Vi skjønar altså at vi må ha a+2 = (a+1)’. Heile tida, etter kvart som vi skal rekne ut a+3, a+4, a+5, osb, så tel vi berre ein vidare enn det vi hadde like før.Altså a+2 er det talet som er etterfølgjaren til a+1, a+3 er det talet som er etterfølgjaren til a+2, osb. Vi får:(**)    a+2=(a+1)’

Men a+1 = a’. Til saman får vi då: a+2 = (a’)’. For vi kan bytte ut a+1 i (**)  med a’. (For a+1 og a’ er jo eit og same tal). Vi får altså at a+2 må vere lik etterfølgjaren til etterføljgaren til a. Det tyder at når vi har a, så tel vi to vidare for å få a+2. Dette er ein annan måte å sjå på a+2 på. Vi noterer det vi her fann ut.

(***)  a+2 = (a’)’

Men vi kan leike oss meir med symbola våre. Hvis vi nyttar formelen i (*) to gongar i samband med (**) og  (***), så får vi:

(****)  a+2 = (a+1)+1

fordi først set vi a+2=(a+1)’ som i (**). Men etter det (*) seier, så er (a+1)’ = (a+1)+1, fordi talet a i (*) kan vere kva tal som helst, altså også a+1. Så om vi byter ut a i (*) med a+1, så får vi (a+1)+1 = (a+1)’, og byter vi så om venstre og høgre side av likskapsteiknet her, så ser vi at (a+1)’ = (a+1)+1. 1)

Formelen (****) fortel då at å leggje til 2 er det same som å leggje til 1 og så leggje til 1 igjen til det vi først fekk.

Men no må vi stagge oss litt før vi går vidare. Korleis veit vi eigentleg at a+2 = (a+1)’. Kven har fortalt oss det? Det er vi sjølve som har fortalt oss det. Vi meiner at slik må det vere og er overtydd om det. Men veit vi det? Skal vi vite at det er rett, så må det vere matematikken som har fortalt oss det.

Men det gjer han ikkje 2). Så om vi vil at det skal vere slik at (**) er rett, så må vi seie til matematikken at slik vil vi ha det. Vi lagar altså ein definisjon.

Greitt. Då definerer vi det slik at a+2 = (a+1)’. Men vi vil også ha på plass at a+3 = (a+2)’. For det meiner vi og er rett. Men sidan vi ikkje har denne formelen frå før i den matematikken vi har bygd opp så langt, så lagar vi ein definisjon til som seier at a+3 = (a+2)’.
Men så vil vi gjerne kunne rekne ut a+4, så då treng vi å definere a+4, og vi gjer det slik som dette a+4 = (a+3)’, osb. Men vi kan ikkje fortsetje i det uendelege. Så kva gjer vi då? Jo, vi uttrykkjer det generelt. Men det gjer vi ikkje her, vi gjer det i neste leksjon.

fotnotar

1)  for å følgje med når vi sjonglerer med formlar slik så treng vi ein del øving. I bloggen så langt har vi ikkje prøvd å leggje til rette for det. Og du kan gjerne hoppe over denne vesle passusen.

2)  utgangspunktet vårt no er teljetala og dei eigenskapane dei har, (sjå siste del av supplement for leksjon 2), samt at vi har definert a+1 som a’. Men uttrykkjet a+2 eksisterer endå ikkje i det matematiske systemet vårt.