førre innlegg neste innlegg (til endes på dette)
God morgon. Dei siste innlegga har vore lange, med lange tekstar. Men denne gongen skal vi ta det meir piano og vi vil avdekkje den store løyndomen i dei førre innlegga. Om innlegget denne gongen blir kortare, er ikkje sikkert, men den som les får sjå.
Men først må vi fullføre det vi begynte på i det førre innlegget, om å addere to teljetal. Det eksemplet på addisjon som vi skreiv om der, var å addere talet 1 til eit tal. Altså vi studerte a+1 og fann ut at dette måtte bli a’, etterfølgjaren til a. Deretter så vi på korleis vi kunne definere a+2, a+3 og a+4.
Det vi gjorde i dei tre siste eksempla var at når vi skulle addere to tal, så gjorde vi det ved å plusse det første leddet 1) i summen med det talet som det andre leddet er etterfølgjaren til og så tok vi etterfølgjaren til det vi då fekk.
Skal du få med deg kva denne skildringa fortel om å addere to tal, så må du lese svært langsamt., og samstundes tenkje godt etter kva du les.
Ta eit eksempel og tenk på at du skal addere dei to tala 5 og 4 og les så på nytt samstundes som du ser på reknestykket 5 + 4 = (5 + 3)’. Her er 5 og 4 høvesvis det første og andre leddet, mens 3 er det talet som det andre leddet, 4, er etterfølgjaren til. Altså 3 kjem like før 4.
Enkelt sagt så blir det slik: å rekne ut 5 + 4 kan du gjere ved først å rekne ut 5+3 og så telje ein vidare. Du kan lett kontrollere. Gamal kunnskap seier at 5 + 4 = 9 og 5 + 3 = 8 og tel du ein vidare etter 8, så får du 9, (9 = 8′), altså OK.
Prøv å få kontroll på dette dømet utan å tenke direkte på 9 og 8. Tenk berre at du stoggar ein før du er framme, (du stoggar ved 5+3), tar ein pust i bakken og går så det litle stykket som er att. Resultatet blir då slik (5+3)’.
Andre døme er: 6+9 = (6+8)’, 129 + 3246 = (129 + 3245)’. Det blir som eventyret om kva fugl som kunne flyge høgast.
Ørna flaug så høgt som til 129+3245. Men den vesle fuglekongen hadde gøymd seg i fjørene til ørna og nådde så langt opp som til 129+3246, som er ein liten bit høgare oppe. Og den litle biten flaug fuglekongen sjøl, altså frå 129+3245 dit ørna kom, og til (129+3245)’. Fuglekongen kom difor høgast opp og vann.
Det vi her gjorde, var å tenkje på ein situasjon som liknar på den matematiske situasjonen som vi er i ferd med å lære oss og ønskjer å forstå. Då får vi hekta noko nytt på noko gamalt som er kjent . Då blir det lettare å halde fast på det nye. Men det er gjerne individuelt kva som fungerer for den einskilde.
Men, no må vi kome vidare og omsette til matematisk språk den lange skildringa av å addere to teljetal. Vi set då namn på dei to tala vi skal summere. Kall det første for a og det andre for b og kall det talet som b er etterfølgjaren til for c, altså b = c’. (Då er altså c det talet som kjem like framfør b.)
Les vi no sakte ein gong til, så ser vi at vi kan skrive det matematisk som a + b = (a + c)’ med b = c’. Men når vi har ein formel med bokstavsymbol som tal, så bør vi seie frå om kva tal det er snakk om i formelen.
(*) a + b = (a + c)’ der a, b kan vere to (telje)tal som helst og der b = c’
No har vi ein definisjon om kva a + b skal vere lik, og det ikkje berre for b = 2, 3, 4 slik som i førre innlegg, men for b lik kva tal som helst, berre ikkje for b=0. For hvis b=0, så har ikkje (*) noka meining. Vi veit jo at 0 ikkje er etterfølgjar til noko teljetal, så det fins ikkje noko teljetal c som er slik at vi kan skrive 0=c’.
Til slutt, ein kortare måte å presentere utsegna i (*) på får vi hvis vi berre bruker a og c. Det er den vanlege måten. Men det har ikkje noko å seie for oss. Vi gjer som vi vil.
(**) a + c’ = (a + c)’ der a og c er kva tal som helst.
Men du må jo kunne seie at denne måten er litt meir elegant.
Men er formelen (*) brukande i praksis? Den gir jo ikkje noko direkte resultat. Om vi stiller med papir og blyant og vil rekne ut 129+3246 ved å nytte (*), så blir ikkje det nokon lettvint måte å rekne på. Men det var heller ikkje difor vi sette opp (*), for å ha ein lur måte å rekne på.
Men la oss sjå kva som hender hvis vi nyttar denne måten, men vi gjer det for små tal. Vi reknar ut 5 + 4, altså vi finn ut kva tal dette blir ved å følgje oppskrifta (*). Vi får
(1) 5 + 4 = (5 + 3)’ . Men kva er så 5+3 lik? Jo, vi får
(2) 5 + 3 = (5 + 2)’ . Men kva er 5+2 lik? Jo, vi får vidare
(3) 5 + 2 = (5 + 1)’ . Men kva er 5+1 lik? Jo, det har vi svar på frå før.
(4) 5 + 1 = 5′ Og kva er så 5′ ? Jo, det veit vi er 6. sjå merknad 2)
Når vi no har svar på det siste reknestykket, så kan vi gå same vegen tilbake, og no kan vi svare på dei spørsmåla som sto utan svar då vi gjekk frametter. Vi får:
(4) 5′ = 6, altså 5 + 1 = 6
(3) (5+1)’ = 6′ = 7, altså 5 + 2 = 7
(2) (5+2)’ = 7′ = 8, altså 5 + 3 = 8
(1) (5+3)’ = 8′ = 9, altså 5 + 4 = 9
Så dermed finn vi ut at 5 + 4 = 9. Men å nytte den same måten til å rekne ut 129 + 3246 på ser vi blir ei håplaus oppgåve.
Så årsaka til at vi sette opp (*) var ikkje for å gi ein lur måte å rekne på, men for å gi ein lur måte å definere addisjon av to tal på ved å setje opp ein enkel formel. Alternativet ville vere å gå vidare med det vi starta på i førre innlegg då vi først definerte a+2, så a+3 osb. Det blir slik:
(***) a+2=(a+1)’, a+3=(a+2)’, a+4 = (a+3)’, a+5 = (a+4)’, … osb
og frå før hadde vi at a+1=a’. Det gjer så meining til a+2, og det igjen gir meining til a+3 osb. Når vi set det opp slik som i (*), så klarar vi oss altså med ein ensleg formel. Men den seier altså til gjengjeld mykje på ein gong.
Denne måten å definere på som vi har i (*) kallast rekursiv definisjon. Ordet rekursiv kjem frå latin, recurrere som tyder å springe attende. For å få svar på kva a+b skal tyde, så spring vi attende til det vi tok aller først, a+1=a’, og så jobbar vi oss fram igjen til a+b. Sjølve prosessen som vi går gjennom når vi reknar ut på denne måten kallast rekursjon.
Og når vi no først veit kva a + b tyder, ut frå det (*) seier, så kan vi sidan lage meir praktiske reglar for å rekne saman tal. Desse reglane lærte alle på skulen for mange eller ein del år sidan.
Men då vi den gongen lærte å addere to tal, så lærte vi desse reglane ut frå kva ein del norske ord hadde som tyding. Til dømes, å få fleire. Alle veit jo kva det betyr, sjøl om dei aldri har tenkt ein matematisk tanke. Det var nettopp slik gjennom språket at vi opparbeidde oss ein forståing av kva matematikk var, (eller kanskje kva det ville seie å rekne?)
Og addisjon, det å få fleire, blei samanvevd med det å telje. Så vi skilde vel ikkje så mykje mellom dei tinga? For å få vite nærare korleis det blir gjort, så må vi spørje ein matematikklærar i barneskulen.
Og det er her vi tek det heile piano, det vil seie vi tek det med Peano. Peano var ein matematiker som har fått namnet sitt knytt til dei 5 punkta som karakteriserer teljetala. Vi nemnde desse punkta i DEL2 i innlegget publisert 18.mai.Men vi skreiv berre opp 4 av dei. Punkt 5 ga vi inga formulering. Men vi sa at av det punktet kunne vi trekkje den konklusjonen at talet 0 er det første av alle teljetala. Alle dei andre tala kjem seinara ut i rekkja, som eit haleheng til 0.
Rekkjefølga som dei 5 punkta står i, er ikkje den som er naturleg. Det andre og det tredje punktet som er nemnd i innlegget 18.mai, er det naturleg å ta som punkt nummer 1 og 2, og det som er nemnd først i innlegget 18.mai kunne ha vore nummer 3. Dei to siste som blei nemnd kan ha samme plassering som då, nr.4 og nr.5.
Ein interessant ting i samband med desse fem punkta er at dei ikkje nemnar noko om addisjon. Men kva addisjon er kan vi byggje opp med utgangspunkt i desse 5 punkta. Vi gir ikkje då noka menneskeleg forklaring på kva addisjon er. Vi berre tek i bruk skrivemåten a+b for to teljetal og fortel kva samanheng det har med teljetala ved hjelp av ein formel a+b = … .
Vi skreiv først opp kva vi meiner med a+1. Det gjorde vi i det førre innlegget og sidan skreiv vi i (*) i dette innlegget kva vi meiner med a+b, der b kan vere eit vilkårleg 3) teljetal, berre ikkje 0. For med b=0 ville, som sagt, (*) gi at a+0=(a+c)’ der 0 er etterfølgjaren til c, men 0 har ingen etterfølgjar, så dermed blir (*) meiningslaus for b = 0.
Men det kan sjå ut som vi heller ikkje kan ha b = 1 i (*). For når b = 1, så seier (*) at a+1=(a+0)’, avdi 1 = 0′. Men i det vi har skrive så langt, så har vi ikkje sagt noko om kva a+0 4) er. Og skal a+1 bli definert av denne formelen, så må jo uttrykkjet a+0 vere definert først.
Men kva løyndom var det eg tenkte på i det første avsnittet til dette innlegget? Jo, det er at dei 5 punkta til Peano, som vi har snakka om eit par gonger, ikkje fortel oss kva eit tal er. Så, hvis vi no, sidan det nett blei nemnd, kjem på å spørje om det, kva er eit tal, så har vi ikkje så langt eit svar. For det dei 5 punkta fortel oss er korleis tala ter seg, kva eigenskapar dei har. Men det er kan hende det same som å seie kva tala er for noko?
Men i alle fall, det viktigaste med tala og andre matematiske objekt er ikkje først og fremst kva dei er, men kva vi kan finne ut ved å bruke dei.
(til starten på dette)
fotnotar
1) når vi adderer to tal, så kallar vi dei to tala i summen for ledd. (Når vi multipliserer to tal, så kallar vi dei to tala i produktet for faktorar.)
2) merk, når vi her reknar ut 5+1, så har vi nytta det vi hadde frå før, at a+1 = a’. Altså vi brukte ikkje (*) med b = 1. Om du kom i stuss over dette og tenkjer at vi har gjort ein feil, så har vi ikkje gjort det. Vi tek opp dette punktet på slutten av dette innlegget.
3) Når vi seier at eit tal er vilkårleg, så meiner vi at talet kan vere kva tal som helst.
4) Vi veit sjølsagt frå før kva a+0 er lik, og vi kan grunngi det ved eit resonnement omkring det ikkje å få meir, slik at det talet ting vi har er uendra. Ein person seier at han vil gi oss noko, men han berre lest som har gjer det.
Mjuk matematikk 