DEL1. Når a er eit tal, kva blir då a+0? Det veit sjølsagt alle, dei fleste utan å tenkje seg om. Svaret er: a+0 = a. Når vi legg 0 til eit tal, så får vi tilbake det talet vi hadde.På slutten av det førre innlegget hadde vi eit spørsmål om a+0. Vi spurte kvifor må vi ha a+0 = a. Det er eit anna spørsmål enn kva tal a+0 er lik. Når vi får dette spørsmålet bardus på, så verkar det litt merkeleg. Men det var stilt i ein bestemt samanheng.

Det vi heldt på med, var å bli kjende med dei 5 eigenskapane som kjenneteiknar teljetala og spesielt å beskrive korleis vi ut frå desse 5 kjenneteikna eller eigenskapane kunne setje opp ein formel for kva det vil seie å addere to tal, så det er sikkert no på tide at vi samlar dei 5 punkta i ei eiga liste. Vi har gjort det i dette innlegget og du finn dei på slutten av innlegget.

Den første addisjonsformelen vi fann fram til var a+1=a’. Når du skal addere 1 til eit tal, kva blir det? Jo, det blir lik etterfølgjaren til talet. Frå før av veit vi frå punkt 2 av Peanos sine punkt at kvart tal har ein etterfølgjar, og dermed har formelen a+1=a’ meining ut ut frå dei 5 punkta 1).

Dinest skreiv vi opp formelen a+b = (a+c)’ der b=c’ og at denne gjeld for alle teljetal a, b berre ikkje for b=0. For hvis b=0, så fins det ikkje noko tal c som har b som etterfølgjar. Punkt 4 av Peanos sine punkt seier at ikkje noko tal har 0 som etterfølgjar. Dermed har vi ei grunngjeving for dette ut frå dei 5 punkta.

Til sist nemde vi at når b=1, så er det kanskje eit problem med formelen då og. For når b=1, og vi har b = c’, så blir c=0. Dermed får vi at a+1 = (a+0)’.

Og så lenge vi ikkje har definert a+0 etter det nye opplegget vårt, altså at a+0 har meining, så seier dette heller ikkje noko om a+1. Men det gjer for såvidt ikkje noko, for vi kan jo berre seie at vi ikkje vil bruke a+b = (a+c)’ når b=1. Vi har jo likevel ein formel for a+1 frå før av, a+1=a’.

Men vi vil gjerne halde på a+b = (a+c)’ med b = c’ også når b=1. For då får vi eit meir heilt opplegg. Og om vi då definerer a+0 = a, slik vi er vane med, så vil dette passe med at a+1 = a’.

For nemleg, når  a+0 = a, så blir (a+0)’  =  a’ og dermed seier formelen a+1 = (a+0)’ at  a+1 = a’ som er det same resultatet som vi hadde frå før.

Men dette er ikkje svar på spørsmålet. For det var, kvifor må vi velje å definere a+0 = a? Jo, det er fordi vi elles kjem i konflikt med punkt 3, at to tal ikkje kan ha same etterfølgjar. For anta at det fins eit tal a slik at a+0 ≠ a 2). Når vi då samlar fakta, så ser vi at vi har.

(1)  a+1 = a’, altså a+1 er etterfølgjaren til a

(2)  a+1 = (a+0)’ altså a+1 er etterfølgjaren til a+0

(3)  a og a+0 er to ulike tal

Vi ser då at dei to tala a og a+0 har same etterfølgjar, men det går ikkje, ifølgje punkt 3, at to tal kan ha same etterfølgjar. Så derfor må vi ha at a+0 = a for alle (telje)tal a, det fins ikkje noko unntak.

Vi ser her eit døme på det vi nemde ganske tidleg, at matematikk er fri fantasi sett i system slik at vi ikkje har nokon logisk brist i det. Vi kan ikkje ha det slik at noko er både slik og ikkje slik. Så vi kan ikkje ha at punkt 3 både er oppfylt og ikkje oppfylt. Og det er nettopp det vi får dersom vi skulle ha at a+0 ≠ a for eit eller anna tal a. På den eine sida har vi då

(A)  det fins ikkje to tal som har den same etterfølgjaren
(Dette er ein liten omskriving av punkt 3, med den same tydinga.)

og på den ande sida så vi at når det fanst eit tal a slik at a+0 ≠ a, så fekk vi at

(B)  det fins to tal som har den same etterfølgjaren.
Vi fann jo nemleg at både a og a+0 hadde den same etterfølgjaren.

Men når vi no har vore gjennom dette, så ser vi kanskje at vi kunne ha vore meir effektive. For vi kunne ha starta med at a+0 = a og ikkje at a+1 = a’. Om vi så i neste omgang hadde sett opp definisjonen a+b = (a+c)’ med b=c’ og b ≠ 0, så hadde vi fått som resultat at a+1 = a’ og ikkje som ein definisjon. Og såleis hadde vi sloppe å hanskast med det som vi no gjekk gjennom. Vi hadde fått ein meir strømlinja teori.For når vi sette opp a+1 = a’ som ein definisjon, samstundes som vi ikkje hadde definert a+0, så blei det litt kollisjon med den generelle formelen a+b = (a+c)’.

Vi gjorde dette av to grunnar, den eine at eg følte det meir naturleg å starte med det å få fleire, når vi faktisk fekk noko og den andre var for å gje oss øving i å møte ein situasjon med ei sjølmotseing 3).

DEL2. Det vi har prøvd på så langt i dei innlegga vi har hatt, er å pensa tankane inn på ei avgjerande side ved matematikk, og vi har nytta teljetala som eksempel. Men teljetala er ikkje berre eit eksempel i så måte, dei har eit grunnleggjande verd, for det meste i matematikk byggjer på desse tala eller tala kjem inn som ei viktig side eller hjelpemiddel i mange system.Det vi tenkjer på er at når vi skal lage ein matematisk teori for noko, så kan vi starte med eit sett med aksiomar.

Eit aksiom er ei utsegn eller ei setning som fortel noko om det vi vil studere. Men eit aksiom er ikkje berre ei setning, det er det og, men det er ei setning i ein bestemt samanheng og med eit bestemt formål.

Når vi set opp eit sett med aksiomar, så er det for å fortelje kva vi kan eller vil ta som grunnlag for ein teori. Vi studerer no teljetala og for å fortelje kva vi då kan ta som grunnlag så har vi Peanos aksiomar, 5 i talet. Det er dei vi har brukt i dette innlegget og tidlegare.

Dei blir og kalla for Dedekind-Peanos askiomar. Dedekind er og ein matematikar og var først med å ta i bruk ein slik måte å innføra teljetala på.

Denne måten å jobbe med matematikk på blir eit tema i neste innlegg. Men før vi avsluttar så listar vi opp Peanos aksiomar.

Liste over Peanos aksiomar

1. 0 er eit (telje)tal
2. kvart tal har ein og berre ein etterfølgjar som og er eit tal
3. to tal kan ikkje ha den same etterfølgjaren
4. 0 er ikkje etterfølgjar til noko tal
5. (telje)tala utgjer den minst omfattande talmengda som har eigenskapane i 1, 2, 3 og 4.

Her har vi også gitt punkt 5 ei formulering. Men kva som ligg i det må vi snakke meir om.

fotnotar

1) vi har berre nytta eitt punkt, men då blir det også rett å seie at vi har nytta dei 5 punkta.

2) Å skrive a+0 ≠ 0 betyr at a+0 er ulik a. Teiknet ≠ tyde ulik.

3) i logikk kallar vi ei utsegn som seier ‘at’ og ‘ikkje at’ for ei sjølmotseiing. Eit døme: 2 er eit positivt tal OG 2 er ikkje eit posirivt tal.