førre innlegg neste innlegg (til endes på dette)
Og kva var det no vi heldt på med? Jo, det siste vi skreiv om var Peanos aksiomar. Og kvifor gjorde vi det? Jo, vi ville ha svar på kva eit tal var. Men det veit vi jo frå før. Ja, men vi ville ha formuleringar som fortel det vi veit, men kanskje ikkje klarar å uttrykkje sjøl. Og når vi skal fortelje kva noko er eller ein annan person skal fortelje oss kva noko er, så er det greitt at det ikkje blir for langt og likevel fangar opp saka.
I så måte er Peanos aksiomar ei ganske kort presentasjon av kva vi meiner med eit tal. Det har vi studert litt i dei førre innlegga. Men den femte utsegna har vi ikkje fundert noko på. Dei fire første fortel om det som skjer når vi tel. Og sidan det å telje er det første møtet som vi får med tala, så er det vel ein nokså naturleg måte å gjere det på.
Men sidan, etter at vi lærte å telje, dvs seie fram tala, det eine etter det andre, så lærte vi også mange andre ting som vi kan gjere med tala og som tala kan fortelje oss. Til dømes å addere tal og å gange dei saman. Dette er ting vi kan tenkje ut etter at vi har lært å telje, altså etter at vi har fordøyd Peanos aksiomar og har internalisert dei. Og vi gjer det med utgangspunkt i Peanos aksiomar.
Men kva så med det femte aksiomet. Der er ordet talmengd nytta. Så kva er så ei mengd? Det er ikkje mykje matematikk vi kan gjere, slik matematikken har utvikla seg, utan å bruke omgrepet mengd, sjøl om det nokre gongar kan sjå slik ut, som om vi ikkje brukar det. Eit eksempel på det er det første aksiomet. Der står det: “0 er eit tal”. Dette er ei kort og grei setning, men ho er skriven på norsk.
Vi vil gjerne uttrykkje det same og bruke matematisk språk, altså uttrykkje denne setninga matematisk. Vi veit sikkert at når vi uttrykkjer noko matematisk, så blir det alltid, (eller oftast?) mykje kortare enn med eit naturleg språk slik som norsk. Det er blant anna fordi vi brukar kortare namn på ting. Om du seier 22 med naturleg språk, så blir det på norsk: tjueto, ikkje så langt men lenger enn ’22’ Eit anna døme, “fem addert til 6 blir elleve” ser slik ut: 6+5 = 11.
Men dette veit alle sjølsagt. Men kva med “0 er eit tal”. For å uttrykkje “er”, så nyttar vi ein gresk bokstav ε, epsilon, som er ein forkorting av det greske ordet for ‘er’, εστι. Men denne bokstaven har fått ein spesiell utforming når vi brukar han i matematikk. Då skriv vi han ∈. For “tal” skal vi bruke bokstaven N, der N står for naturleg tal. For det som vi har kalla for teljetal kallast i matematikk for naturlege tal 1*).
Altså setninga “0 er eit tal” blir då “0 ∈ N”. Men om du alt er kjent med kva ei mengd er, så vil du kanskje protestere på dette, eller du seier til deg sjøl, dette kjenner eg ikkje att. Nei, eg har endå ikkje sagt dei magiske orda som dei fleste seier når dei skal forklare kva ei mengd er. Men vent eit bel. Det kjem nok til slutt.
Det er mange måtar å seie at 0 er eit tal på, og sidan det fins mange tal, fleire enn eitt i alle fall, så kan vi seie, “0 er eit av alle teljetala” eller “0 høyrer med til teljetala”. Her har eg prøvd å få fram kva ei mengd er. Når vi her seier alle teljetala, så tenkjer vi på dei som ein heilskap, ikkje på tala enkeltvis. Om vi skulle seie det med kvardagsspråk, så kunne vi seie at vi har ei samling med teljetal, eit knippe med tal.
Dette, altså “samling”, var det magiske ordet eg tenkte på litt lenger oppe. Det er ein vanleg måte å introdusere mengd på når du les ein matematisk tekst. Så ordet mengd har ei nokså annleis tyding i matematikk enn i kvardagsspråket. Når du der seier: “eg har ei mengd med tal”, så tenkjer vi på at du har mange tal. Men når du har ei mengd i matematikken, så treng du slett ikkje ha mange. Du treng ikkje ha nokon i det heile tatt.
Men (sjølsagt?) vi kan også ha mengder som innheld andre objekt enn tal. For det fins jo mange andre objekt i matematikk enn tal. Alle er til dømes kjende med punkt og linjer. Og ikkje minst, når vi no har kome så langt som til at vi har begynt å snakke om mengder, så er også det eksempel på matematiske objekt. Ei mengd i seg sjøl er eit matematisk objekt.
Men no må vi gje nokre enkle eksempel på mengder. Tenk på hjørna i ein trekant. Desse utgjer ei mengd. Denne mengda har tre element. Ordet element er ein generell term som blir brukt om dei objekta som høyrer heime i ei mengd. Vi kan alltid snakke om elementa i ei mengd. Men ofte er det meir naturleg å bruke namnet på dei objekta som høyrer heime i mengda. Elementa i mengda av alle hjørna i ein trekant er punkt. Då kan vi snakke om punkta i mengda.
La oss ta eit anna døme, mengda som består av alle dei positive partala 2*) som er mindre enn 7. Då har vi at elementa i denne mengda er tal. La oss kalle mengda for A. Elementa i A er då dei tre tala, 2, 4 og 6. For desse tre tala svarar til skildringa vi gav. Og då skriv vi 2 ∈ A, 4 ∈ A og 6 ∈ A og les det slik: “2 er eit element i A”, “4 er eit element i A”, “6 er eit element i A”. Så no brukar vi teiknet ∈ i ei anna tyding enn den vi først hadde. No tyder ikkje ∈ “er”, men heller “er eit element i”.
Men vent litt til. Kva tyder altså den setninga at “4 er eit element i A”? Jo, den tyder det same som at “4 er eit positivt partal som er mindre enn 7”. Dette er eit kjernepunkt, så vi skriv opp dette for alle dei tre elementa i A:
“2 ∈ A” tyder: “2 er eit positivt partal som er mindre enn 7“
“4 ∈ A” tyder: “4 er eit positivt partal som er mindre enn 7“
“6 ∈ A” tyder: “6 er eit positivt partal som er mindre enn 7“
I dette dømet som vi her har trekt fram, så har vi nemnd fire matematiske objekt, tre av dei er tal og eit er ei mengd, talmengda A.
Den mengda vi her snakka om og som vi kalla for A, definerte vi ved å gi ei skildring av kva for element som var i mengda. Ein annan måte å fortelje om kva for ei mengd vi tenkjer på, (å definere ei mengd), er rett og slett å liste opp alle elementa. Til dømes, vi tenkjer no på ei mengd som vi vil kalle B, og elementa i B er desse tala: 2, 4, 6.
Då ser vi raskt at A og B har eksakt dei same elementa, og difor seier vi at A og B er den same mengda, og vi uttrykkjer dette ved at vi skriv A = B. Altså når vi seier at to mengder er like, så tyder det at dei består av dei same elementa.
Vi kunne halde på lenge med dette, å finne døme og lære nye ting om mengder. Men om nokon har fått ei lita aning om kva ei mengd er, så er det bra nok. Vi kan ikkje vere for harde når vi prøver å gjere matematikken mjuk. Men vi har ei lita utfordring når det gjeld mengder heilt til slutt.
Men ei sak til, vi sa langt oppe at “0 er eit tal” kan skrivast som “0 ∈ N”, når vi skal seie det på matematisk maner. Men om du les “0 ∈ N” meir nøye, så blir det “0 er eit element i N” slik vi nett har sett. Og N er då symbol for mengda av alle naturlege tal, (teljetala). Så når vi seier at “0 ∈ N” tyder “0 er eit tal”, så omset vi ikkje bokstaveleg frå matematikk til norsk, men vi omset slik at det lyder meir som vanleg norsk.
Men det fins og ein annan måte å skrive setninga “0 er eit tal” på, når du vil uttrykkje det matematisk og det er å nytte eit eige symbol for den siste delen av setninga, “er eit tal”. Hvis du analyserer setninga “Null er eit tal” grammatisk, så er Null subjektet i setninga og “er eit tal” er predikatet.
Predikatet i ei setning fortel noko om subjektet. På latin tyder praedicere å seie noko om noko. Så når du seier “Null er eit tal”, så seier du noko om null, nemleg at det er eit tal. Eit anna stikkord her er ordet eigenskap. Når du seier “Null er eit tal”, så fortel du at Null har ein eigenskap. Null 3*) har den eigenskapen at det er eit (telje)tal.
I matematikk, eller kanskje rettare, i logikk, nyttar vi og dette ordet og i same tyding, men vi nyttar ikkje ordet subjekt. I staden blir ordet argument nytta.
Men så til saka, å skrive “0 er eit tal” meir på matematisk vis. Vi brukar då eit eige symbol for “er eit tal” og vi skriv som vanleg 0 for null. La Nat stå for “er eit tal”. Då skriv vi Nat(0) for “0 er eit tal”. (Merk Nat er ikkje eit standard symbol slik som til dømes N er standard for “mengda av alle naturlege tal”.)
Her er då Nat eit predikatet. (Og 0 er argument.)
Når du har ei mengd A og ei mengd B og elementa i B er dei same som i A berre at det eventuelt også er andre element i B enn dei i A, så seier vi at A er ei delmengd (eller undermengd) av B, og vi skriv det slik: A ⊆ B.
1) vi har nemnd det ein gong før. Dei tala som kallast dei naturlege tal kan enten vere tala 1, 2, 3, 4, 5 … eller det kan vere 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Når vi i denne bloggen talar om dei naturlege tal, så er 0 med.
2) Vi repeterar raskt for dei som ikkje hugsar i farten. Eit partal er eit tal som kan delast på 2. Talet 8 kan delast på 2 og vi får 4. Men 9 kan ikkje delast på 2. Dvs vi kan, men då får vi ein rest. Partal kallast og like tal.
3) I dette avsnittet skreiv vi nokre stader null med liten N og Null med stor n. At vi slik skriv null snart med liten og snart med stor n, kan tyde på at vi ikkje kan bestemme oss for om null er eit eigennamn eller ikkje. Og det kan til dels stemme. Eigentleg er null i vår samanheng eit eigennamn, slik som Ole, Per osb. Det same gjeld symbolet 0, men i matematikk skriv vi ikkje symbol som står for eigennamn med stor bokstav og dei andre med liten. For symbola er jo heller ikkje bokstavar alltid.
Mjuk matematikk 