Vi fekk ei lita oppgåve i førre innlegg. Eigentleg høyrer ikkje ordet oppgåve heime i denne bloggen, så neste gong skal vi seie det på ein annan måte og gje det eit litt anna preg, slik vi har gjort før, og det skal vi fortsetje med.

Det saka dreidde seg om i oppgåva var å handtere omgrepa delmengd og mengd. Vi fekk opplysning om to mengder, den eine mengda blei kalla A og elementa i A var 1, 3 og 5. Den andre blei kalla B og elementa i denne var alle dei positive oddetala som var mindre enn 9. Dei positive oddetala 1*) som er mindre enn 9 er sjølsagt? 1, 3, 5, 7.

Så elementa i B er dei same som i A berre at B har talet 9 i tillegg. Men dette passar jo heilt med at A er ei delmengd av B. (Vi definerte delmengd på slutten av forrige innlegg, i sjølve oppgåva.)
Lat oss ta det i detalj:

(*)     1 ∈ A  og  1 ∈ B,  3 ∈ A  og  3 ∈ B,  5 ∈ A  og  5 ∈ B.

og fleire element enn 1, 3, 5 fins ikkje i A. Dermed ser vi i  (*) at alle elementa i A også er med i B. Men i tillegg så har B eitt element til, nemleg talet 9, (9 ∈ B). Altså A er ei delmengd av B, og som vi veit, så skriv dette slik: A ⊆ B 2*).

Kva har vi vener for? Jo, at dei kan hjelpe oss, og at vi kan hjelpe dei, om det trengs. Akkurat no vil vi gjere bruk av det. Kanskje du hugsar at i den første leksjonen så sa vi at mine vener er dine vener. No, når vi har tatt i bruk mengdeomgrepet, så kan vi uttrykkje dette matematisk.

For hvis A står for mine vener og B for dine, så blir utsegna “mine vener er dine vener” det same som å seie at A ⊆ B. Altså mengda av personar som er mine vener er ei delmengd av mengda av personar som er dine vener.

Vi kan også uttrykkje dette slik: “hvis ein person er min ven, så er denne personen også din ven”. Å seie det slik er kanskje den beste måten å definere delmengd på. Generelt blir då definisjonen slik:

Gitt ei mengd A og ei mengd B. Når vi då seier at A er ei delmengd av B så meiner vi dette:
Hvis a er eit element i A, (kva element i A som helst), så er også a eit element i B.

I den førre definisjonen sa vi det litt annleis. Då sa vi at A er ei delmengd av B, A ⊆ B, tyder at elementa i B er dei same som i A berre at B kan ha andre element i tillegg. Dette er kan hende raskare å oppfatte. Den nye definisjonen ovanfor er kanskje meir detaljert. Du går der meir inn i detaljane og tenkjer på eit og eit elelemnt i A, om det også er med i B.

Kva som er best å bruke er nok avhengig av korleis mengdene A og B er definerte.

Men la oss sjå på ein annan likefram måte å formulere det på.
Når vi seier at ei mengd A er ei delmeng av ei mengd B, så meiner vi at kvart element i A også er eit element i B.

Vi tar venedømet på nytt. Når eg seier at kvar ven som eg har også er ein ven som du har, så betyr dette matematisk at A ⊆ B, der A står for (mengda av) mine vener og B står for (rmengda) av dine vener.

Før vi ser på neste spørsmål, så vil vi seie litt om korleis vi kan skrive ei mengd. Vi har faste måtar å skrive tal på. Nokre tal har heilt eigne symbol som vi berre må lære. Korleis kan vi vite at talet 9 er talet ni utan å lære oss dette talet spesielt? Det kan vi ikkje. Men vi kan vite kva 23 tyder utan å hugse dette talet særskilt. Vi skriv talet tjuetre slik vi her gjer ved å følgje eit system.

Slik fins det og standard måtar å skrive mengder på. Det vi hittil har gjort når vi skulle definere ei mengd eller, om du vil, fortelje kva for mengd vi tenkte på, så gjorde vi det på to måtar. Den eine var at vi gav ei skildring av korleis elementa i mengda var, og den andre måten var at vi lista opp kva for element som høyrde heime i mengda.

Sett at eg tenkjer på ei mengd A der elementa er primtala mellom 0 og 10. Då kan vi skrive sjølve mengda slik:

(**)     A = {alle primtal mellom 0 og 10}

Parentesen i (**) som startar med  ‘{‘ og sluttar med ‘}’ kallar vi ein mengdeparentes. Og det vi har gjort i (**) er  altså å skrive memgda A ved å omslutte skildringa av mengda med ein mengdeparentes. Vi les (**) slik: A er lik mengda av alle primtala mellom 0 og 10

Den andre måten å skrive ei mengd på er å liste opp elementa med komma mellom og omslutte denne lista med ein krøllparentes, (altså mengdeparentes). Det kan vi gjere hvis vi kjenner elementa og hvis dei ikkje er for mange. Elementa i A i (**) er desse: 2, 3, 5 og 7. Dermed kan vi skrive:

(***)    A = {2, 3, 5, 7}

Ei slik liste kan lett bli for lang til at det blir plass til å skrive henne. Då fins det måtar å  gjere lista kortare 3*) på.

Skildringa av mengda A i (**)  var skriven ved å bruke naturleg språk, her norsk. Om vi brukar matematisk eller logisk språk, så blir det kortare og meir presist. Men det kan bli vanskelegare å lese, for då kjem det rimelegvis formlar inn i formuleringa. Det bryr vi oss ikkje med her og no.

Dette innlegget hadde vi planlagt å skrive i to delar, Del1 og Del2. Men sidan det ikkje blir plass til Del2, så let vi Del2 bli neste innlegg. Dermed får vi plass til å nemne ein tredje måte å skrive ei mengd på. Det fins ein tilsvarande måte å skrive eit tal på, så det tek vi først.

Ein måte å skrive eit tal på er rett og slett å ikkje skrive talet. Korleis heng det i hop? Jo, tenk deg at du spør ein lærar, kor mange elevar er det i klassen din? Ho, svarar, det er 15 gutar og 16 jenter. Javel seier du, det er altså 15+16 elevar.

Poenget er altså at vi oppgir eit tal ved å gi eit reknestykke. Vi kan gjere tilsvarande med mengder. Vi kan få ei mengd ved å slå to mengder i hop. Det kan nokre gongar vere praktisk, for å sleppe å gi ei meir omfattande skildring av mengda vi er ute etter.

Eksempelvis, la B ={alle tal i tregongen}. Så definerer vi mengda  A = {1, 2} ∪ B.  Her er ‘∪’ teiknet for å slå i hop to mengder. Det kallast å ta unionen av to mengder og elementa i den mengda vi då får er alle dei elementa som vi i alt finn i dei to mengdene til saman. Eit raskt døme: {1, 2, 3} ∪ {2, 4} = {1, 2, 3, 4}.
Mengda vi får kallast unionen av dei to andre. Dette liknar på det å ta summen av to tal, der talet vi får kallast summen av dei to tala. Men det er og forskjellar 4*)”.

Så over til neste problem. Vi hadde A = {1, 3, 5} og C = {alle positive oddetal mindre enn 7}. Kvifor får vi då at A ⊆ C? Jo, fordi kvart element i A også er eit element i C. Stemmer det? Vi ser på elementa i A etter tur, og sjekkar dei opp mot skildringa av C. Det blir slik:

1 er i A og 1 er eit postivt oddetal mindre enn 7, altså 1 er også i C
3 er i A og 3 er eit postivt oddetal mindre enn 7, altså 3 er også i C
5 er i A og 5 er eit postivt oddetal mindre enn 7, altså 5 er også i C

Fleire element enn 1, 3, 5 fins ikkje i A, altså alle element i A er også element i C, med andre ord A ⊆ C.

Men vi har og at C ⊆ A. Stemmer det? Den raskaste måten å vise at dette stemmer på, er å merkje seg  at C = A. Og dermed er det ganske klårt at kvart element i C også er i A, for når C er lik A så har dei dei same elementa. Men det at kvart element i C også er element i A er nett det det tyder at C ⊆ A.

Dette er kan hende den mest intelligente måten å sjå det på. Men om vi vil øve oss litt på å analysere og tenkje systematisk så kunne vi tatt utgangspunkt i skildringa av C og så ut frå det sjekke om kravet i definisjonen på at C ⊆ A er oppfylt.

C består av alle dei positive oddetala mindre enn 7. Det første talet som er positivt er 1. Er 1 eit oddetal? Ja. Er også 1 mindre enn 7? Svaret er ja. Men då er 1 element i C og 1 er også element i A.

Det neste positive talet etter 1 er 2. Er 2 eit oddetal? Svaret er nei. Så 2 er ikkje med i C. Vi går vidare. Neste tal er 3. Det er eit oddetal og 3 er mindre enn 7. Altså, 3 er element i C, og 3 er også element i A. Etter 3 kjem 4, men 4 er ikkje eit oddetal. Etter 4 kjem 5 og 5 er eit oddetal og 5 er mindre enn 7. Dermed får vi 5 er med i C og 5 er også med i A. Etter 5 kjem 6, men 6 er ikkje eit oddetal, så 6 er ikkje med i C. Fleire tal mindre ein 7 fins ikkje i C. Så no har vi sjekka alle elementa i C og funne at dei også er med i A. Med andre ord C er ei delmengd av A, C ⊆ A.

Den siste problemstillinga blei lagt fram som ei utfordring, og utfordringa var nok større enn eg hadde trudd. For det var ein skrivefeil i teksten, noko mangla. Det har eg lagt til sidan. Det som sto var ikkje mogeleg å vise, for det var jo ein usann påstand.

Vi skulle vise to ting. Det eine var dette: hvis du veit om ei mengd A og ei mengd B at A ⊆ B og at B ⊆ A, så er A = B. For å hjelpe oss å tenkje litt lettare, så gjer vi det litt personleg. Eg tenkjer meg at mengda A er mi mengd  og at vi difor har at elementa i A er mine element. Elementa i B kallar eg då dine element.

Då fortel utsegna A ⊆ B åleine at mine element også er dine element, men det kan hende at du har andre element i tillegg. Men du har ikkje andre element i tillegg til mine, for B ⊆ A fortel at alle dine element også er mine. Så dermed ser vi at dei to utsegnene  A ⊆ B og B ⊆ A til saman seier at mine og dine element er dei same, altså A = B.

Den andre tingen vi skulle vise var at det er berre når A ⊆ B og B ⊆ A at A = B. Så difor spør vi, når A = B, vil vi då ha at A ⊆ B og B ⊆ A? Ja, opplagt for hvis A = B, så har jo eg og du dei same elementa, og då blir det også rett å seie at mine element også er dine. Men dette siste er jo det same som å seie at A ⊆ B. Og ein gong til, når A = B, så er sjølsagt også B = A, altså du og eg har dei same elementa. Dermed blir det rett å seie at dine element også er mine, dvs B ⊆ A. Så i  alt, når A = B, så har vi både at A ⊆ B og B ⊆ A.

SLUTTORD. Ei delmengd er enkelt sagt ein del av ei mengd. Når vi då seier del av, så kan denne delen også vere heile mengda. Det er eit slags grensetilfelle. For når du først høyrer ordet delmengd og får vite at det er ein del av ei mengd, så vil du tenkje at, ja nettopp, at det er ein del og ikkje det heile. I dette tilfelle seier vi og at vi har ei ekte delmengd.

At A er ei ekte delmengd av B skrivst slik, A ⊂ B. Vi nyttar det same teiknet som når A er ei delmengd, berre at vi ikkje tek med den litle streken nedst på undersida av ⊂.

Men merk om du les ei bok som ikkje er heilt nyskriven, så kan du finne at teiknet for ei ekte delmengd, ⊂, slik vi har forklart det, blir brukt slik vi har forklart teiknet ⊆. Så når du les uttrykkjet A ⊂ B i ei slik bok , så er ikkje tilfellet  A = B utelukka. Om det då er slik at A = B i den saka vi held på med, så kan du gje ein ekstra merknad om dette hvis det skulle trengast.

Det finst eit døme på ei mengd som vi ikkje har nemnd så langt og som vi absolutt burde nemne. Det er ei mengd som er slik at vi ikkje kan liste opp elementa i mengda, og det er ikkje fordi det er så mange element, men fordi denne mengda ikkje inneheld nokon element i det heile. Men vi kan gje ei skildring av ei slik mengd. Eit døme er mengda av alle tal som er ulike seg sjøl, altså denne mengda:
{alle tal som er ulike seg sjøl}
Kva for tal er slik at dei ikkje er like seg sjøl? Ja, rett, det fins ikkje nokon slike tal. Ei slik mengd har altså ingen element og vi seier at ho er tom. Sidan det ikkje fins element i denne mengda, så kunne vi skrive henne slik: {}, ein tom mengdeparentes.Men det fins eit eige symbol som er dette: ∅, og den tome mengda er like viktig for mengder som talet 0 er for tal. Og det fins berre ei tom mengd. Dette kan vere litt overraskande kanskje, men meir vil eg ikkje seie no.

Vi vil understreke ein siste ting . Det er ikkje slik at elementa i ei mengd ikkje sjøl kan vere mengder. Vi har gitt eit lite døme på det einkvan staden, i forbifarten. Men det er lett at den oppfatninga kan snike seg inn, at elementa i ei mengd ikkje kan vere mengder, endå det ikkje blir sagt noko om at slik er det. For dei fleste døma på mengder som vi har hatt, er ikkje slik at nokon av elementa i dei er mengder.

ETTERORD. Det kan sjå ut som vi i det førre innlegget definerte kva ei mengd er, og det gjorde vi på sett og vis. Det er vanleg å seie at ei mengd er ei samling av objekt, og dette skreiv vi og. Men dette er ikkje ein matematisk definisjon. For kva er ei samling, matematisk sett? Det har vi ikkje sagt noko om og kan ikkje heller. Det vi har gjort er å peike på omgrepet mengd, eller gje oss ei viss forståing av omgrepet.Å definere ei mengd matematisk kan vi gjere slik som vi definerte teljetala matematisk. Vi definerer då indirekte ved å liste opp eigenskapane som mengder eller tal skal ha, eit minste sett med eigenskapar. Det vil seie vi stiller opp eit sett med aksiomar.

På den måten får vi sagt korleis mengder eller tal ter seg, ikkje kva dei er. Dette programmet held vi framleis på med når det gjeld tala. Vi sette opp Peanos aksiomar for dei naturlege tala, (teljetala), men vi har enno ikkje studert kva det siste aksiomet fortel oss.

Aksiomar for mengder kjem ikkje på dagsorden før vi har blitt meir vane med å omgåast dei, kva tid er det ingen som veit.

fotnotar

1)
Oddetala er dei heiltala som ikkje kan delast på 2. Dei positive oddetala er då dei du får ved å starte med 1 og så telje to om gongen, 1, 3, 5, 7, 9, 11, osb. Dei tala vi kallar for heiltal eller heile tal, er teljetala og dei tilsvarande negative tala, altså for det første 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,  …  og dessutan -1, -2, -3, -4, -5, …

2)
Her ser du at teiknet ⊆ liknar på ulikheitsteiknet ≤. Når vi for eit tal a og eit tal b har at a ≤ b, så seier vi med det at talet a er mindre enn talet b eller eventuelt at a = b. Til dømes, 2 ≤ 3, 4 ≤ 5, men også 2 ≤ 2, 4 ≤ 4. Når ei mengd A er ei delmengd av B, så skriv vi det slik: A ⊆ B. Det kan då hende at A = B, men det treng ikkje vere slik. Det “normale” er nok at når A ⊆ B, så fins det eit element i B som ikkje er i A. Då seier vi at A er ei ekte delmengde av B. Døme: {1, 2} ⊆ {0, 1, 2}, men også {1, 2} ⊆ {1, 2}.

3)
Om du var interessert i mengda av alle tal i tregongen, og du ville definere denne mengda ved å liste opp alle elementa, så ville du får 10 tal. Det er ikkje sikkert at dette ville bli ei for lang liste, men vi kan ialle fall gjere henne kortare.