Det drygde lenge før dette innlegget kom. Det var fordi eg måtte tenkje meg ein del om, men i tillegg til det fekk eg teknisk trøbbel med bloggen. Men no kjem det; endå ein gong eit langdrygt innlegg. Men det er delt inn i delar.

førre innlegg   (til endes på dette)

DEL 1, småpreik (til del2). Dette er siste omgang med Peanos aksiomar. Dei fire første har vi vore inne på og snakka om, meir eller mindre. Men kva er det med det siste aksiomet sidan vi ikkje har våga oss på det før no? Vi formulerte det siste aksiomet slik:

(*) (telje)tala utgjer den minst omfattande talmengda som har eigenskapane i 1, 2, 3 og 4.

Jo, det er fordi vi brukte mengdeomgrepet, og det fekk eit dårleg rykte på seg i det førre hundreåret (på 1900-talet). Det dårlege ryktet kom fordi dei starta med mengdelære i skulen utan at lærarane var fortrolege med henne og utan at dei så kva nytte som kunne kome frå denne matematikken.

Det heile starta i 60-åra med at Sovjet var først ute med å sende opp eit romskip – før USA rakk å gjere det. Då fann amerikanarane ut at dei måtte oppgradere folket med meir moderne matematikk. Noreg kom etter i 70-åra. Men det blei ikkje vellukka, korkje i Europa eller USA.

Mengdelæra er framleis ein del av matematikkfaget i den norske skulen, men ho har vorte skyvd oppover i årstrinna og redusert ein del. Kanskje ho no praktisk talt er heilt vekke. Eg trur at problemet med megdelæra er ikkje mengdelæra i seg sjøl, men kor stor vekt ein legg på henne og korleis ho blir presantert og blir brukt.

Men for oss i denne bloggen så er vi ikkje bundne av læreplanar og vi kan velge ut det vi vil. Eg trur ikkje mengdelære er vanskelegare enn det folk oppfattar som vanskeleg når dei tenkjer på matematikk. Det er berre det at nye tankar krev tid for å setje seg i hovuda våre. Det tek tid å bli vane med noko nytt slik at du blir fortruleg med det.

Utanom dette er det og slik at når ting blir for abstrakte, så blir det vanskelegare å halde fast på dei. Men at noko blir for abstrakt trur eg igjen berre er fordi ein ikkje har fått nok tid til å bli van med det. Tala, som vi lærte i skulen, er også abstrakte omgrep. Men vi hadde god tid til å bli kjende med dei. Og når vi først har blitt kjende med dei, så føler vi og at vi veit kva dei er, og dei kjennest ikkje som abstrakte omgrep.

Ei anna side ved det å lære seg nye ting som vi opplever som abstrakte, (dvs ikkje konkrete som vi kan ta og føle på), er at det kan lette innlæringa når vi tek eksempel som er knytt til situasjonar som vi er godt kjende med frå før. I vårt tilfelle gjeld det å bli fortrulege med mengder.

Og det vi gjer, har med tal å gjere. Vi tek for oss mengder der elementa er tal. Og tal er vi godt kjende med. Men situasjonen som vi no skal bruke talmengder på, er nok og noko ny. Vi snakkar om aksiomar og meir. Men dette går greitt? Lat oss ikkje sleppe fanden laus. Så no går vi vidare med aksiom 5.

DEL 2, til saka (til del3). Men kva er det som det siste aksiomet fortel oss? Det lydde altså slik:

(*) (telje)tala utgjer den minst omfattande talmengda som har eigenskapane i 1, 2, 3 og 4.

Eller vi kunne spørje. Kvifor treng vi det siste aksiomet. Det er fordi dei fire fyrste ikkje er nok til å avgrensa teljetala. Det trengst å seiast meir. Om vi ikkje tek med det femte aksiomet, så lagar vi plass til framande tal, tal som ikkje er tal.

For å sjå at vi kan få framande tal og likevel halde oss til skildringa som dei fire første aksioma gjev oss, så lagar vi ei teikning som viser døme på ein slik situasjon. Vi teiknar planet med to aksar som kryssar, ein x-akse og ein y-akse, for å halde oss til kjente nemningar. Då får vi som kjent eit koordinatsystem.

 FIG1      y-akse
             |
             |
 ... ---/----/----/----/----/----/----/----/-- ... p
             |
     --------*----/----/----/----/----/----/--... x-akse
             |    1    2    3    4    5    6  ...  

Vi legg teljetala inn på x-aksen med 0 i origo og 1 til høgre for 0, 2 til høgre for 1 osb, i alt slik at tala 0, 1, 2, 3, 4, … får dei vante plassane sine. Vi nyttar altså x-aksen som ein talakse. Origo, det punktet der vi har plassert 0, har vi merka med * og punkta der resten av teljetala er plasserte, har vi merka med ein skråstrek, /. Og mellom kvart tal er det like stor avstand.

Her kjem det altså litt geometri inn i biletet. Men den har ingenting å seie for det vi gjer. Det er jo berre rekkjefølga til tala som er viktig. Og ettersom det er peanoaksioma vi vil studere, så treng vi å gjere klart kva rekkjefølge tala har.

Og det er jo sjølsagt den rekkjefølga som vi er vane med, men vi vil gjerne uttrykkje det ut frå punkta som vi har lagt tala i. Då blir det slik at å vere etterfølgjar til tyder det same som å liggje (like) til høgre for. Dei tala vi no har teikna (eller markert om du vil), på x-aksen er sjølsagt dei rette eller ekte tala.

Men vi teiknar så vidare for å få fram døme på uekte tal. Legg ei line parallelt med x-aksen slik at denne lina går gjennom punktet med x, y-koordinatar høvesvis 0 og 1. Dette punktet ligg på y-aksen, ein opp frå origo. På teikninga, FIG1, har vi kalla denne lina for p.

På lina p har vi merkt visse punkt med ein skråstrek /. Desse punkta ligg like langt frå kvarandre med avstand 1 mellom kvart punkt 1*) og eit av dei er krysningspunktet mellom y-aksen og lina p. Desse punkta er det vi skal sjå svarar til dei framande tala. Eller kanskje du vil seie, dei er falske tal.

Vi skal no sjå at alle desse punkta på lina p saman med dei merkte punkta på x-aksen stettar dei fire første peanoaksioma. Men då treng vi å definere etterfølgjarane til punkta på lina p. Etterfølgjarane for punkta som vi merkte av på x-aksen har vi alt gjort reide for.

Etterfølgjarane for punkta på lina p definerer vi slik at punktet til høgre for eit punkt skal vere etterfølgjaren til punktet. (Definisjonen her følgjer den same idéen som for punkta våre på x-aksen). Og vi kallar mengda av alle dei merkte punkta på x-aksen og på lina p til saman for M.

At elementa i mengda M då oppfyller dei fire første peanoaksioma ser vi slik: Punktet * merkjer seg ut, for det er ikkje etterfølgjar til noko punkt eller tal. Og kallar vi punktet * for 0, (som vi alt har gjort), så har vi at det første og det fjerde punktet i aksioma er oppfylte. Her er aksioma lista opp.

Aksiom nummer 2 er også oppfylt. For til høgre for * og til høgre for kvar / ligg det ein / (og berre ein /). Altså kvart einaste punkt i M har ein (og berre ein) etterfølgjar.

Av figuren ser vi og at ikkje noko punkt er etterfølgjar til to punkt. Altså ikkje noko punkt i M har to punkt (like) til venstre for seg. Dermed ser vi at aksiom nummer 3 er oppfylt.

Vi har no snakka mykje om punkt. Alle elementa i M er punkt. Men i peanoaksioma var det snakk om tal. Men namnet skjemmer ingen, sa mannen. Dei kalte han for tjuv.

Det er nok ikkje alltid rett, men for peanoaksioma, så kan det vere rett. For vi kan lese dei med utgangspunkt i mengdelæra, altså vi startar med at vi tenkjer oss at vi har ei mengd, og så snakkar vi om elementa til mengda i staden for å snakke om teljetala. Så då kunne vel den eine nemninga vere like bra som den andre, altså ordet punkt er like bra som ordet tal, for seier vi ‘element’, så seier vi likevel ikkje ‘tal’.

Eit anna poeng har vi her:

I spelet ludo er det små runde brikker som vi flytter rundt på eit brett. Det er fire sett med fire brikker kvar og kvart sett har sin eigen farge. Men vi kunne jo godt ha bytt ut desse brikkene med andre objekt, til dømes med farga steinar. For det er jo måten spelet går føre seg på som tel, ikkje korleis dei objekta som du flytter rundt, ser ut.

Med tala er det jo og slik. Det er det vi kan gjere med dei, som er det viktige. Og grunnlaget for kva vi kan gjere finn vi i peanoaksioma. Så om vi finn ei punktmengd som stettar krava i peanoaksioma, så kan vi bruke desse punkta til å rekne med. Men då kan vi jo kalle punkta for tal. Då føler vi oss kanskje meir vel eller meir heime? For det er jo tross alt tal vi brukar når vi reknar.

Så no har vi sett at om vi vil skildre teljetala ved å seie at dei er slik at dei fire første peanoaksioma er oppfylde, så blir dette for vidt eller for slapt. Då fins det tal som snik seg inn og som ikkje høyrer heime blant teljetala. Det er for å hindre dette at vi har aksiom 5. Men den formuleringa vi brukte i aksiom 5, kan formulerast om så ho blir meir eintydig, betre matematisk formulert.

Eg skreiv: “(telje)tala utgjer den minst omfattande talmengda som har eigenskapane i 1, 2, 3 og 4”. Det eg tenkte på då eg skreiv dette, var at om N oppfyller aksioma 1 – 4 2*), og N er den rette mengda, altså mengda av alle teljetala, så finst det inga ekte delmengd av N som oppfyller 1, 2, 3 og 4. For om S er ei ekte delmengd av N og S oppfyller 1, 2, 3 og 4, så var jo ikkje N den minst omfattande mengda likevel. Men det skulle ho vere. Altså vi kan formulere aksiom 5 slik:

Om N er den rette mengda, så finst det ikkje noka ekte delmengd av N som stettar dei 4 første aksioma.

Husk då at når ei mengd A er ei ekte delmengd av ei mengd B, så tyder det ikkje berre at kvart element i A og er med i B, men at A er mindre omfattande enn B, det fins altså element i B som ikkje er med i A. Vi har tatt med ei lita repetisjon av mengd og delmengd i dette blogginnlegget, sjå den gule delen lengre nede.

DEL 3, omformuleringar (til del4).
Med formuleringa ovanfor i raudt har vi no fanga inn teljetala. Men hjelper det oss? Det kan sjå ut som det er lite konkret? Korleis kan vi få nytte av det? Om du ikkje likar henne, så kanskje du likar betre den vi no skal lage. Vi skal formulere om den raude setninga til ei anna setning som gjev oss den same informasjonen.

Hvis den eine utsegna er sann, så er og den andre det. Dei er likeverdige. Men den nye ligg litt nærare ei form som er meir praktisk når vi skal bruke aksiom 5 til å finne ut ting om teljetala. Men at ho er meir praktisk ser du sikkert ikkje med det same. Men vi skal gje eit døme.

Tenk deg no at du har ei delmengd av N og denne delmengda oppfyller dei 4 første aksioma. Kall delmengda for S. Altså vi har at S ⊆ N og S stettar dei 4 første aksioma. Då veit vi at S ikkje er ei ekte delmengd av N, det er jo det den raude formuleringa seier. Men om S er ei delmengd av N, men ikkje ei ekte delmeng, så må vi ha at S er lik heile N. Vi får som nytt aksiom 5:

Om S er ei delmengd av den rette mengda N, S ⊆ N, kva delmengd som helst av N, og tala i S stettar dei 4 første aksioma, så er S = N

Men no, om du kunne spare deg litt arbeid, ville du då tenke at ja, det må jo vere herleg å sleppe litt arbeid, i alle fall om det var strevsamt å måtte gjere dette arbeidet. Det ville du sikkert gjere også om det var tenkearbeid, endå om slikt arbeid somme gongar kan gå fort, så sant du er godt trent på den aktuelle saka.

Når vi skal bruke den blå utsegna, den siste formuleringa vi sette opp for aksiom nummer 5, så kan vi spare oss noko tenkearbeid. For om vi veit om ei mengd S at ho er ei delmengd av N, og vil røkje etter om dei fire første aksioma er oppfylte, så er det nok å sjekke aksiom 1 og 2, for nummer 3 og 4 vil då automatisk vere oppfylte.

Aksiom 4 seier at 0 er ikkje etterføljgar etter noko tal. Når det er S vi tenkjer på, så seier altså aksiom 4 at det fins ikkje noko tal i S som har 0 som etterfølgjar. Men sidan S er delmengd av N, så veit vi allereide at det ikkje fins noko tal i N som har 0 som etterfølgjar, og då kan det heller ikkje vere eit slikt tal i S, for det talet ville jo og vere med i N. Men i N fins altså ikkje noko slikt tal.

På same viset går det med aksiom 3. Om det skulle finnast eit tal i S som var etterfølgjar til to tal, så ville det og finnast eit slikt tal i N, nemleg det same talet som i S. Men N har ikkje noko slikt tal i seg, for N stettar jo alle fire aksioma.

Så no set vi opp aksiom 5 på nytt og nyttar det vi fann ut nettopp, at når vi har ei delmengd av N som stettar aksiomane 1 og 2, så er 3 og 4 automatisk oppfylde. Vi kan ta over ordlyden som vi sist hadde og skrive at S stettar dei 2 første aksiomane i staden for å skrive at S stettar dei 4 første. Men vi skriv heller direkte inn i formuleringa kva aksiom 1 og 2 seier. Då blir det slik:

Om S er ei delmengd av teljetala, (kva delmengd som helst), og 0 er med i S og S inneheld etterfølgjarane til alle tala sine, så er S lik mengda av alle teljetala

DEL 4, eit døme (til del5).
Her kjem eit døme på korleis vi kan bruke dette teoremet til å finne ut ting. Vi skal vise at om a er eit teljetal, (kva teljetal som helst), så gjeld det at 0 + a = a. Dette veit vi frå før sjølsagt, men vi skal vise det ut frå den definisjonen vi gav for addisjon i leksjon 4 og i innlegget etter leksjon 4.

I innlegget etter leksjon 4, definerte vi kva vi skal meine når vi skriv a + 0 og sa at a + 0 skulle bety a. Mao a + 0 = a. Det vi no skal vise er at når vi snur på rekkefølgja i addisjonsuttrykket, så blir resultatet også lik a, dvs det same resultatet.

For å nytte aksiom 5 slik vi har formulert det i den grøne setninga, så lagar vi oss ei mengd S som er ei delmengd av N, og så viser vi at S er lik heile N. Og S er like heile N så sant vi kan finne ut at 0 er med i S og at S innheld alle etterfølgjarene til elementa sine.

Oppgåva vår var å vise at 0 + a = a for alle teljetal a. Så vi tenkjer oss S som mengda av alle tal a som er slik at formelen vår er rett. Så set vi i gong

1. er 0 med i S? (altså, er formelen rett hvis a = 0?). Svaret på dette er ja, fordi med a = 0, så ser formelen slik ut 0 + 0 = 0. Er dette rett? Ja, fordi vi får at 0 + 0 = 0 også ved å nytte den gamle formelen, a + 0 = 0, når a = 0. Og at formelen a + 0 = a er rett, veit vi jo.
2. er det slik at alle etterfølgjarane til S også er med i S? Dvs gitt at a er eit tal i S, (kva tal som helst i S), dvs formelen er rett for talet a, vil vi då og ha at a’ er i S 3*)?. Altså er formelen då rett også for a’? Vi reknar for å sjå om det kan stemme.
   0 + a’ = (0 + a)’  = a’. Ja, det stemte. Mao hvis a er med i S, så er også a’ med i S. Så S innheld alle etterfølgjarane sine.

Konklusjonen er at S = N, dvs formelen 0 + a = a gjeld for alle teljetal a.
Merk, eg har endra den grøne formelen, fordi den var ikkje slik den skulle vere. Vi kan også sei at den var feil om du vil. Men strengt tatt var han ikkje feil, men veldig uheldig for du kunne bli leidd  i miss av han. (Eg blanda saman to spørsmål som eg hadde i tankane. Meir i neste innlegg.)

DEL 5, to utfordringar. (til del1). Ei lita. Eg prøvde ikkje å forklare reknestykket 0 + a’ = (0 + a)’ = a’ som vi nettopp hadde, (det vart skrive opp i grønt), kvifor det er rett. Prøv sjøl, så tek eg det opp i neste innlegg.

Ei stor. Vi definerte addisjon i leksjon 4, og vi gjorde det rekursivt. Å rekne ut ein sum etter ein slik definisjon, inneber å redusere utrekninga til addisjon med mindre tal. Til dømes, kva er 2+4? Jo, 2+4 = (2+3)’, altså etterfølgjarem til 2+3, og poenget er at 3 er talet som kjem like før 4, 4 = 3′.

Om vi ikkje bind oss til spesifiserte tal, så blir definisjonen slik: a + b = (a+c)’ der b = c’. Altså for at dette skal ha meining, så må b vere ein etterfølgjar. Men kan vi vere sikker på at alle teljetal er ettførfølgjarar. Nei alle er det ikkje, for 0 er ikkje etterfølgjar til noko tal. Men 0 er jo heilt spesiell og alle tal utanom 0 er etterfølgjar til eit tal.

Då eg skreiv om addisjon i leksjon 4, så tok eg dette for gitt, (altså at alle tal er etterfølgjarar utanom 0), og eg trur at ingen ville tru at det ikkje er rett? Og det er rett, og dessuten nokså opplagt, men korleis kan vi grunngje det ut frå dei aksioma som vi har?

Jo, vi startar med aksiom 5 og let S = {0} ∪ F, der F er mengda av alle tal i N som er etterfølgjar til eit tal. Grunngjevinga vidare er veldig enkel, nokså rett fram, men kan hende likevel ikkje så lett å kome på.

Vi tek til slutt med ein ørliten repetisjon av mengder, det du treng for å ta til deg formuleringana av aksiom 5. Sjå den gule biten nedanfor.

Vi minner og om at med {0} meinte vi den mengda som har eitt element og det elementet er talet 0. Vidare så meiner vi med A ∪ B, den mengda der elementa er dei som er i A og B til saman. Med A = {0} og B = {5, 6, 7}, så blir A ∪ B = {0, 5, 6, 7}. Vi har snakka om dette før. Når vi dannar mengda A ∪ B, ut frå A og B, så seier vi at vi dannar unionen av A og B. Det liknar litt på addisjon av tal.