DEL1 kome i gang att. (til DEL2).

Då eg starta opp bloggen igjen mellom jul og nyttår, sa eg til meg sjøl. Har det skjedd noko sidan sist? Ja det hadde det, men ikkje så mykje som hadde med mjuk matematikk å gjere. Så eg hadde vel eigentleg mist litt av kontrollen med tida. Men å seie at det ikkje hadde skjedd noko sidan siste blogg er sikkert ikkje heilt rett likevel.

Men det eg då var mest spent på,  var kva som ville komme i denne omgangen. Om du hadde gått ei tid tilbake, så hadde eg visst det straks eg kom til å tenkje tanken, men no måtte eg nok meditere litt før eg kom i gang att.

La oss difor ta det frå starten av. Ein ting vi då gjorde, var å trekkje fram teljetala og det å telje eller seie tala etter kvarandre. Vi starta først med 1 og så endra vi på dette og starta i staden teljinga med 0. Altså vi starta så å seie med to tome hender. Men hovudet var ikkje tomt, så difor kom vi oss vidare.

I dei siste bloggane har vi halde på med Peanos aksiomar og vi så på desse som den kortast mogelege måten å oppsummere kva vi meiner med teljetala, (også kalla dei naturlege tala). La oss ta det på nytt ganske raskt.

Men vi så at desse fire punkta er for få til at tala blir fullt ut bestemte. Vi ville ha ein kortast mogeleg oppsummering av korleis tala er. Men berre å liste opp desse fire punkta vart altså for knapt. For ikkje å få falske tal med, så trong vi eitt punkt til, slik at vi fekk avgrensa tala til akkurat dei vi ville ha. Dette femte punktet var tema for det førre blogginnlegget.

DEL2 alternativer for aksiom 5. (til DEL3).Då er vi i gang. Men punktet “For det femte” her var litt annleis enn punkt 5 slik vi skreiv fyrste gongen. Den opphavlege utsegna var litt vag med tanke på at ho skulle vere utgangspunkt for matematikk. Men i det førre blogginnlegget klarte vi av kva vi meinte med denne opphavlege formuleringa og sette opp ei formulering slik som den vi gav her i “For det femte”.

I det førre innlegget gav vi då totalt tre nye utsegner. Desse fortalte det vi ville ha fram på tre ulike måtar. Kvar av dei kasta sitt ljos over saka. Vi listar opp alle desse utsegnene her, med den opphavelege som nummer 0. Og som vi har gjort før, vi brukar bokstaven N som symbol for dei tala vi vil karakterisere med dei 5 aksioma.

1. (0)  N er den minst omfattande mengda som stettar 1-4
2. (1)  det fins inga ekte delmengd av N som stettar dei 4 første aksioma
3. (2)  hvis S er ei delmengd av N som stettar dei 4 første aksioma, så har vi at S = N
4. (3) hvis S er ei delmengd av N, og 0 er i S og S inneheld alle etterfølgjarane sine, så er S = N

Vi repeterer no på ein meir lettflytande måte korleis desse utsegnene heng i hop. Men før vi set i gong bør du ha klårt for deg skilnaden på kva det vil seie at ei mengd er ei delmengd av ei mengd og kva det vil seie at ei mengd er ei ekte delmeng av ei mengd.

Denne skilnaden tok vi nøye for oss i det førre innlegget. At A er ei delmengd av B, vi skriv det slik: A ⊆ B, tyder at kvart element i A også er med i B. Men når vi veit dette om A og B og ikkje noko meir, så er det ikkje utelukka at A = B. Derimot om vi veit at A er ei ekte delmeng av B, A ⊂ B, så gjeld det også at kvart element i A er med i B, men den situasjonen at A = B er no utelukka.

Så ei ekte delmengd er alltid ei delmengd, men det fins delmengder som ikkje er ekte delmengder.

Så til saka. Vi ville forklare samanhengen mellom utsegnene (0) – (3).

Utsegna merkt med (0) er meir ei poetisk utsegn enn det er ei matematisk utsegn. Det er formuleringa ‘den minst omfattande’ som gjer at vi kallar henne poetisk og ikkje matematisk. Så til utsegna merkt med (1). Det er ei matematisk utsegn som fortel det vi ville seie med (0).

Vidare, sjå på (1). At det ikkje fins noka ekte delmengd av N som stettar 1-4, fortel oss at om ein person seier at han har ei delmengd av N som stettar 1-4, og det han seier er sant, så er denne delmengda lik heile N, for ho kan jo ikkje vere ei ekte delmengd av N. Så av (1) følgjer (2).

Sjå så på utsegna i (2). Av denne følgjer (1), for om (1) ikkje er rett, så fins det ei ekte delmeng av N som stettar 1-4. Men ei ekte delmengd er og ei delmeng, så då seier (2) at denne ekte delmenga er lik heile N. Men det veit vi ikkje går an. Ei ekte delmeng av ei mengd kan ikkje vere heile mengda. Så av (2) følgjer (1).

Altså, dei to utsegnene (1) og (2) er ekvivalente *1).

Dinest ser vi på samanhengen mellom (2) og (3) og vi ser då lett at (2) følgjer av (3). For om premissane til (2) er oppfylde, dvs S⊆N og S stettar 1-4, så er jo 0 i S, (aksiom 1) og alle tala i S har etterfølgjaren sin i S, (aksiom 2). Men då er jo premissane i (3) oppfylde slik at vi får S = N.

La oss så starte med at vi veit at (3) er tilfelle. Så hvis S ⊆ N og 0 er i S og S inneheld alle etterfølgjarane sine *2), så stettar S i alle fall dei to første aksioma. Men aksiom 3 og 4 er jo og stetta for hvis eit tal er i S, så er dette talet også i N, og tala i N stettar jo 3-4. Premissane i (2) er dermed oppfylde, så vi får dermed at S = N. Med andre ord, av (3) følgjer (2).

Så då har vi funne ut at (2) og (3) også er ekvivalente. Desse to utsegnene seier akkurat det same.

DEL3 svar på den første utfordringa frå sist gong. (til DEL4).

Det er den siste utgåva av aksiom 5 som er den som du oftast vil sjå om du kikkar i elementære matematikkbøker *3). Det er den som er best eigna når vi skal bruke aksiom 5 til å vise ting. Og det var også den vi brukte i det førre innlegget då vi skulle gje eit døme på å bruke aksiom 5.

Men vi forklarte ikkje der heilt ut det vi gjorde. Det var eitt reknestykke vi ikkje forklarte, men berre skreiv opp. Det var dette:

(*)   0 + a’ = (0 + a)’ = a’ (a er her eit vilkårleg teljetal |som oppfyller formelen 0 + a = a|.)

Vi fekk dette problemet i fanget då vi skulle vise at formelen 0 + a = a er rett for alle teljetal a, og vi skulle nytte aksiom 5 til å vise det.

Forklåringa på kvifor (*) er rett, er ikkje komplisert. Så om ho kjennest vanskeleg, så er det fordi det er nye tankar med i biletet.

Vi tek det detaljert og nummererer likningane vi får under forklaringa og til høgre for kvar likning skriv vi ei grunngjeving for nettopp denne likninga.

(1)  0 + a’ = (0 + a)’    (pga definisjonen av kva det vil seie å addere)

(2)  0 + a = a                (det er fordi det er slik a skulle vere)

(3)  (0 + a)’ = a’    (pga (2) og det at eit og same tal ikkje har to etterfølgjarar)

Så tek vi med ein konklusjon til

(4)  0 + a’ = a’    pga (1) og (3), for når A = B og B = C, så er A = C, bmk *4)

Det vi her gjorde i (1) – (3) var å ta for oss dei to likskapsteikna i (*) og gje grunn for kvifor dei var riktige. Kvifor er det første likskapsteiknet i (*) rett? Altså kvifor er 0+a’=(0+a)’? Det forklarte vi i (1).

Dinest, kvifor er det rett å skrive ‘=’ mellom dei to siste uttrykka. Altså kvifor kan vi skrive (0+a)’=a’? Her treng vi å grunngje i to omgongar. Det har vi gjort i (2) og (3).

Vi tek det ein gong til meir langsomt. Altså kvifor er (0+a)’=a’? Jo, for det første så har vi at 0+a=a. For det var slik a var. At vi så i neste omgang får at (0+a)’ = a’ er fordi 0+a og a er eitt og same tal. Og kvart tal har ein og berre ein etterfølgjar. Difor får vi (0+a)’=a’.

Så i (1) – (3) har vi vist at (*) er rett.

Men kva skal vi så med (4)? Jo, vi hekta det på fordi det vi eigentleg ville vise med (*), var at når 0+a = a, så gjeld den same formelen for etterfølgjaren til a, og etterfølgjaren til a er jo den vi skriv som a’. Altså vi skulle syne at 0+a’ = a’. Det er det (4) fortel oss.

I grunngjevinga for (1) viste vi til definisjonen av ‘+’. Den tok vi føre oss i (– leksjon–). Og tanken bak definisjonen var at om vi til eit tal (her 0) legg eit tal (her a’), så får vi det same resultatet hvis vi først legg til talet framfor det talet vi skulle legge til, (her a), og så tek etterfølgjaren av dette resultatet.

Konkrete eksempel frå elementær rekning: 2+4 = (2+3)’ idet altså 4=3′, og 5+3 = (5+2)’ med di 3=2′.

DEL4 svar på den siste utfordringa. (til DEL5).

Den neste utfordringa vi fekk i førre innlegg var å vise at alle teljetala utanom 0 er ein etterfølgjar. Det skulle vi vise ved å nytte aksiom 5.

For å nytte aksiom 5 for å vise noko, så 0) vel vi oss ei mengd S *6) som er ei delmengd av N. Så 1) viser vi at 0 er med i S og 2) at S i tillegg inneheld alle etterfølgjarane sine. Aksiom 5 seier då at S er lik heile N.

Når vi seier at S inneheld alle etterfølgjarane sine, så tenker vi på det at etterfølgjaren til kvart tal i S også er med i S. Å vise dette vil jamnt gå føre seg slik: tenk deg at a er eit tal i S. Av dette (dvs av den eller dei eigenskapane som a då har) skal du så vise at også a’ er i S.

Eg sa i førre innlegg at vi kunne velje S = {0} ∪ F *5), der F var mengda av alle tala i N som var ein etterfølgjar. Så då har vi gjort unna punkt 0). Så spør vi, 1) vil vi ha at 0 er i S? Ja, for 0 er jo element i {0}. og dermed er 0 også element i {0} ∪ S.

Så tek vi fatt på det siste punktet, punkt 2).

La då a vere eit tal i S, kva tal som helst i S. Så spør vi om a’, etterfølgjaren til a, også er i S. Svaret på det er jo eit opplagt ja. For kva tyder det at eit tal er i S? Jo, anten at talet er 0, dvs talet er i {0} eller at det er ein etterfølgjar, dvs i F. Og a’ er jo etterfølgjaren til a, så a’ er ein etterfølgjar. Dermed er altså a’ i F. Men då er jo a’ i S også, for S er jo unionen av {0} og F.

Konklusjonen er då at S er lik heile N. Men ettersom S = {0} ∪ F så er altså {0} ∪ F = N og med di 0 ikkje er med i F, (0 er ikkje ein etterfølgjar), så

(1) må altså F vere mengda av alle tala utanom 0.

(2) Men F var jo definert som mengda av alle tal som er etterfølgjarar.

Altså alle tal som ikkje er 0 er ein etterfølgjar. Det var det vi ville vise.

Det vi her gjorde var å skrive ned i detalj korleis vi kan vise at alle teljetala utanom 0 kjem etter eit teljetal, (er ein etterfølgjar). Ingen ville vel tru at det var annleis, for vi kjenner jo tala frå før. Men korleis ville vi gjere det om vi ikkje skulle bruke aksiom 5?

Vi skal sjå på det like nedanfor, men først vil eg berre setje opp beviset uten alle detaljane som eg her skreiv. For det kan gjerast ganske kort om du sjøl kan supplere den tenkinga som trengs.

(1) Vi definerer F som mengda av alle etterfølgjarar av teljetal og set S = {0} U F.
(2) Då ser vi at 0 er i S.
(3) La så a ∈ S. Da vil a’ vere ein etterfølgjar av eit tal i S og per definisjon tilhøyre F, altså a’ er i S.

Med andre ord  S = N, slik at F = N − {0}. Og det var dette vi ville vise, OK!

Vi nytta her notasjonen A − B der A er ei mengd og B er ei mengd. Og med A – B meiner vi alle elementa som er i A, men som ikkje er i B. Altså, for å få A – B, så startar vi med A og tek så bort alle elementa i A som også er i B. Det blir kalla for ein mengdedifferens.

Dette var jo mykje kortare. Korte bevis som er skrivne lange, (dvs mange detaljar blir tekne med), kan nokre gongar vere vanskelegare å få med seg enn kortskrivne bevis fordi du blir utolmodig etter å kome til det punktet som du treng meir tid på å fordøye. Dermed blir du uroa i lesinga.

Men det kan vere like gale at eit bevis er for kort til at du kan ta det til deg på rimeleg tid. Men sjølsagt, “til lags åt alle kan ingen gjera”.

DEL5 bevis utan aksiom5?  (til SLUTTORD)

Men så til det eg lovde lenger oppe, å sjå på korleis vi kan vise at alle teljetala utanom 0 er etterføljartal, utan å bruke aksiom 5. Vi er overtydd om at det er slik teljetala er, for det er jo rett og slett slik vi oppfattar dei. Men å vise (bevise) noko som er innlysande for ein, kan synest litt toskut eller i alle fall heilt unødvendig. Nokre gongar kan det og stengje for forståinga.

Men om vi likevel skulle prøve, så vil det bli vanskeleg, for vi vil vere i beit for korleis vi skal handsame det. For skal vi vise at noko er slik eller slik, så må vi ha noko å vise til, noko å slå i bordet med. Vi må ha argument og ikkje berre synest eller kjenne på korleis det er.

Men la oss prøve. Vi spør. Kan det tenkjast at det fins eit teljetal som vi ikkje kjem til når vi tel, altså eit tal som ikkje har noko tal framfor seg? Det må vi svare nei til, for det er jo nett slik teljetala er.

For lat oss starte med 0. Då veit vi at etter 0 kjem 1, etter 1 kjem 2 osb. Så vi kjem altså aldri fram til noko tal som ikkje er neste tal i rekkja. Teljetala er jo ettopp dei vi kjem fram til etter kvart som vi tel.

Men kva er galt med dette? Jo, problemet her er at vi seier ‘osb’, og så bortetter. Kva tyder det? Det kan ha ei klår meining for eit menneske, men det har ikkje så klår matematisk meining. Prøv å forklare kva ‘osb’ tyder. Du kan sei: det betyr at vi fortset på same viset heile tida. OK, men kva er ‘på same viset’ og kva tyder ‘heile tida’?

Dette er utsegner som er godt eigna når vi skal danne oss eit bilete av matematiske tilhøve. Men som matematikk duger dei ikkje. For då skal alt vere krystallklart. Vi skal ikkje trenge å byggje på ein diffus forståing eller intuisjon.

SLUTTORD.   (til ETTERORD)

Det som gjer det heile vanskeleg er uendelegheita. For det fins uendeleg mange teljetal. Eller fins det uendeleg mange teljetal? Kanskje det ikkje gjer det. Men før vi kan svare, så må vi vite kva vi meiner med uendeleg mange.

Og det bør vi ta litt nøye. Uendelege mengder er ikkje heilt som endelege mengder. Til dømes er det slik at om du har ei mengd med uendeleg mange element, og du tek bort eit element, så vil den mengda du då sit att med ha like mange element som den du først hadde.

Så når vi skal handsame uendeleg, så duger ikkje vanleg intuisjon. For det er ikkje noko tilvarande i dagleglivet til eit menneske. Det fins ikkje noko tilsvarande i dei røynslene som eit menneske gjer seg i eit vanleg liv.

Men om du er matematikar, så har du omgått desse problema meir enn berre lauseleg, så du vil kunne opparbeide deg intuisjon også for slike ting. Men då må du ha noko effektivt å arbeide med, for elles kan det lett bli at du berre surrar ikring som ei floge. Det er ikkje då nok berre å vere ein vanleg kvardagsfilosof.

Det vi treng er ei fast forankring i eit klart utgangspunkt, forankring i eit sett med aksiomar. Det er som med spel og reglar, utan tydelege reglar blir det lett kaos eller usemje. Og dinest treng vi ein klår logikk. Det igjen fordrar at vi har eit enkelt språk som er rikt nok til å uttrykkje det vi treng. Det er eit slikt språk at aksioma må skrivast i.

Og så må vi også nytte definisjonar for å lette måten å samtale om dei tinga som meir eller mindre direkte ligg nedfelt i aksioma.  (Definisjonar gjer vi oss og nytte av i dagleglivet, om enn ikkje så presise og utvitydige som i matematikk. I staden for å sei “Hent den reiskapen med tindar  som vi nyttar til å flytte høy med!, så seier vi berre “Hent høygaffelen”.)

I dei fem peanoaksioma som vi skreiv opp, så nytta vi ikkje eit slikt språk som vi ymta om like ovanfor. Vi nytta naturleg språk, i vårt tilfelle norsk. Men vi drog inn eitt omgrep som ikkje fins i vanleg omgangsspråk, nemleg mengdeomgrepet. Dette hjalp oss til å halde ting betre i taume.

Og det var mengdeomgrepet vi nytta då vi viste at alle (telje)tala utanom 0 er etterfølgjaren til eit teljetal. Vi kunne då syne at mengda som til saman besto av 0 og alle teljetala som var etterfølgjarar, utgjorde alle teljetala. – Og det gjorde vi ved å nytte mengdelæra og vanleg logisk tankegang. Og sjølsagt, kva vi meinte med eit teljetal brukte vi også. Dette fortalde peanoaksioma oss. Det femte aksiomet her hadde vi uttrykt ved mengdeomgrep.

Det logiske språket vi snakka om lenger oppe, (for det er det som er det rette namnet på det språket som vi nemde lenger oppe), skal vi ikkje leggje fram til fulle. Og det er heller ikkje noko ein matematikar nyttar i arbeidet sitt. Han nyttar naturleg språk, men det er ispedd omgrep og seiemåtar med veldefinert innhald, og som er henta frå dette logiske språket *6). Det gjer det heile meir presist enn daglegspråket med sine omgrep.Vi skal ta for oss nokre av desse tankane i dei innlegga som kjem. Første sak ut er funksjonsomgrepet. Kjært barn har mange namn. Ordet funksjon er berre eit av dei namna som blir nytta om dette omgrepet. Men det rekkjer for oss så langt.

Det som vi (med fordel) kan endra i vår formulering av peanoaksioma er omgrepet etterfølgjar, det at kvart tal har ein etterfølgjar. Det kjem i neste innlegg slik planane mine er no. Vi skal då og vise at det fins uendeleg mange teljetal.

;
ETTERORD.

1. At N – {A} er ei ekte delmeng av N er jo opplagt, for A ∈ N, men A er ikkje element i N – {A}.
2. At elementa i N – {A} stettar aksioma 1- 4 er og klart.
   For det første, vi har ikkje gjort noko med  0.  Dermed er aksioma 1 og 4 oppfylde.  Og dinest: kvart element i N – {A} har ein etterfølgjar i N og denne etterfølgjaren er ikkje lik elementet A, altså kvart element i N – {A} har ein etterfølgjar i N – {A}. Dermed er aksiom 2 oppfyld. Til slutt eit og det same elementet i N – {A} kan ikkje vere etterfølgjar av to element i N – {A}, for desse to elementa ligg og i N, så då ville det elementet vi nemnde først vere eit element i N som var etterfølgjar av to element i N og det seier aksiom 3 ikkje er tilfelle.

Men då har vi fått ei sjølmotseiing. Vi har funne at den same tingen er både sann og usann. På den eine sida så seier aksiom 5 at det ikkje fins noka ekte delmengd av N som stettar dei fire første aksioma. På den andre sida så førte det at vi godtok at det finst eit tal ulik 0 som heller ikkje er ein etterfølgjar, til at det fanst ei ekte delmengd av N som stettar aksioma 1 – 4, sjå punkt 1) og 2) like ovanfor.Det vil vi ikkje gå med på. Feilen må då vere det som leia oss til punkt 1) og 2), og det var at vi gjekk ut frå at det fanst eit teljetal utanom 0 som heller ikkje var ein etterfølgjar. At det finst eit slikt tal må vi då seie frå oss. Utsegna i overskrifta på denne bloggen blir då ståande som sann.

Men det går an å ha tal som stettar dei fire første aksioma og som i tillegg til 0 har eit anna tal som ikkje er ein etterfølgjar. Her ligg kimen til dei tala som kallast transfinite tal.Det tyder, reint språkleg, tal som ligg bortanfor dei finite tala. Dei finite tala er dei endelege tala, dei som vi har hatt samkvem med sidan vi starta opp bloggen. Kvart endeleg tal kan vi altså nå ved å telje, berre vi held på lenge nok.

Men dei transfinite tala kan vi ikkje nå ved å telje. Men om vi har ein god kikkert, kan vi kanskje sjå dei? Å ta opp desse tala ligg heilt i det blå for oss slik stoda er no. Ja dei ligg faktisk bak alle blånar. Men kven veit kva som kan skje.

fotnotar
1)
Ordet ekvivalent tyder jamgod eller likeverdig. At to utsegner er ekvivalente tyder meir bestemt at når den eine utsegna er sann, så er og den andre det.

2)
Når vi snakkar om etterfølgjarane til ei mengd (her S), så tenkjer vi sjølsagt på etterfølgjarane til elementa i mengda.

3)
men ordlegginga er ein litt annan. Den gjev ei skildring av korleis du skal gå fram for å sjekke at S inneheld alle  etterføljarane sine. Med det meiner vi sjølsagt at kvart av tala i S har etterfølgjaren sin i S.

Vi kan seie dette slik: for alle tal a gjeld det at hvis a er i S, så er også a’ i S. Slik vil du mest sannsynleg sjå at det er formulert i elementære bøker. Men det er ikkje fordi denne formuleringa er meir elementær, men den fortel meir direkte kva du skal gjere.

Men du vil nok også truleg sjå ein annan ulikskap når du les elementærbøker. Kva det er hadde eg tenkt å føye til her, men eg gløymde det ut.

For det er slett ikkje sikket at dei har nemnd noko om mengder i det heile tatt. I staden for å seie at a ∈ S, så kan vi seie at a har ein viss eigenskap, nemleg den eigenskapen som er kriteriet på at a er i S.

Og i tillegg kan det godt hende at dei “startar med 1 og ikkje med 0”. Vi seier ikkje meir om det no. Vi kjem attende til desse tinga seinare når vi skal snakke om det logiske språket som vi nemnde før i dette innlegget.

4)
når vi her seier ‘velje ei mengd’, så meiner vi sjølsagt ikkje kva mengd som helst, men ei som gjer at vi kan lukkast med det vi vil vise og det vil vere at alle tal som er teljetal, er slik og slik.

I vårt tilfelle var det at når vi tek for oss eit tal, så er det anten 0 elle>r det er etterfølgjaren til eit tal. Sagt litt annleis, det gjeld for eitkvart tal at anten er det 0 eller så er det ein etterfølgjar. Denne mengda skriv vi altså {0} ∪ F, der F er mengda av alle tal som er etterfølgjarar.

5)
At eit tal er i {0} ∪ F tyder at det er i {0}, dvs talet er lik 0, eller det er i F, dvs talet er ein etterfølgjar.
Når vi dannar ei mengd A ∪ B ut frå ei mengd A og ei mengd B, så meiner vi den mengda der elementa er dei som er i A og B til saman. Det blir meir presist hvis vi seier at eit tal er i A ∪ B nett då når talet er i A eller talet er i B.
Merk då at når vi i matematikk nyttar ordet ‘eller’, så meiner vi det eine eller det andre eller begge delar.
Mengda A ∪ B kallar vi unionen av A og B.
Vi snakka og litt om dette i avsnittet før den gule innramminga i førre innlegg.

6)
Dette kjem vi tilbake til ein gong lenger framme i tida, når vi har kome oss ned frå det fjellet som vi no ei stund har vore i ferd med å forsere. Det viste seg å vere eit fjell med tett skog, men vi skal kome oss vidare og ned på slettelandet att. Men det skjer ikkje i morgon eller neste veke, men det skjer.