Tenk på ei klokke, slik dei var før, altså med ei klokkeskive og 12 tal. Når timevisaren står rett opp, så er klokka 12. Ein time etter er klokka eitt, så etter ein time til så er ho to, så tre så fire så fem osb. Ti timar etter at klokka er 12, så er ho 10, deretter 11 og så blir ho på nytt 12 og då har vi starta på ein ny runde, neste halvdøger.

Men la oss heller seie at når timevisaren står rett opp, så er klokka 0 og når det har gått ein time, så er klokka 1 eller eitt, når det har gått 2 timar, så er klokka 2, osb. Dette er kan hende meir naturleg enn å seie at klokka er 12 når timevisaren står rett opp?

Kvifor er det meir naturleg? Jo, vi tenkjer då at klokkesletta 0, 1, 2, 3, …, 11 fortel oss kor mange (heile) timar det har gått frå eit gitt 1)  tidspunkt fram til klokka er 0, 1, 2, 3, …, 11. Då har vi gitt klokkesletta ei konkret meining.

For vi får då at når klokka er 0, så svarer det til at det har gått 0 timer frå dette tidspunktet. Når det så har gått ein time frå dette tidspunktet, så er klokka eitt,når det har gått 2 timar, så er klokka 2, osb.

Men kva er klokka når det har gått 12 timar frå det gitte tidspunktet? Slik vi tenkte, så har vi ikkje då noko klokkeslett. For talet for klokkeslettet slik vi tenkte, skulle vere det same talet som talet på timar frå det gitte tidspunktet, og det var 12. Men sidan timevisaren i  klokka vår peikar rett opp når det har gått 12 timar, så peikar timevisaren på 0 og ikkje på talet timar som har gått.

Så når det har gått 12 timar sidan det tidspunktet vi tenkte på, så blir det litt kluss, det passar ikkje med det prinsippet vi tenkte ut, at klokkeslett skulle vere lik talet på timar som var gått. Om vi prøver å redde prinsippet vårt når det har gått 12 timar og samstundes held fast på 0, så kan det lett gå litt rundt også i hovudet vårt.

Vi kan redde oss ved å seie at når det har gått 12 timar, så har vi eit unnatak. Og det er i grunnen ei heiderleg løysing,for det heiter jo ingen regel utan unntak. Og det fins og mange reglar i matematikk som har unnatak 2).

Men før vi no legg årene inn og går inn på turt land, så vil eg ta med det som eg hadde som ein baktanke då eg la fram den litle utfordringa i siste linja i den første leksjonen.Vi kan, om vi vil, sjå på dei tolv tala vi nemde, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 som eit miniunivers av tal. Då tenkjer vi altså på dei vanlege eller eigentlige teljetala som eit stort univers. Dette inneheld uendelig mange tal, eit utal av tal, mens det vesle nye taluniverset vårt berre har tolv tal. Men har vi tal, så må vi og kunne rekne med dei. Vi gjer det slik at når vi då legg ein til kvart av desse tala, så blir resultatet det som vi kjenner frå før, berre ikkje for det siste talet, 11.

Vi set 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, … , 10 + 1 = 11 og til slutt 11 + 1 = 0. Dette er ikkje noko eg har funne på her i denne bloggen, dette er seriøs matematikk. Men vi lyt seie mykje meir om du skal bli overtydd om at dette er meir enn ein sandkasseleik. Førebels er det mest berre det, ein sandkasseleik.

Merk at regelen vi her har for å addere 1 til eit av dei nye tala våre, er den same som den vi hadde for dei vanlege teljetala. Vi sa då noko slikt som at etter 3 kjem 4, og 3 + 1 = 4. Når vi legg ein til eit tal, så får vi det talet som kjem etter. Det gjer vi og med tala i det nye miniuniverset vårt. For etter 11 kjem 0, og dermed blir 11 + 1 = 0.

Men om du er observant, så vil du ha sett at vi har ikkje sagt noko om kva tal av tala 0, 1, 2, …, 11 som kjem etter eit anna. Men eg trur at det ligg i korta ut frå det vi har snakka om. Vi har det slik at etter 0 kjem 1, etter 1 kjem 2, og til slutt etter 10 kjem 11, etter 11 kjem 0. Det var dette vi tenkte på då vi laga overskrifta, tal i ring, vi skulle også gå i ring frå tal til tal.

Merk og, det at vi no seier at 11 + 1 skal vere 0, er ein del av løysinga vårt av dilemmaet med at klokka er 0 når det har gått tolv timar. For, riktignok fins ikkje talet 12 i det nye universet vårt, så for dei nye tala kan vi ikkje skrive 0 + 12, men det tidspunktet vi kjem til når vi går 12 timar fram det tidspunktet då klokka er 0, er jo det same tidspunktet som vi kjem til når vi går 11 timar fram frå klokka 1. Klokka er då 0 for timevisaren står rett opp. Og då stemmer det med den nye matematikken vi har laga, for der gjeld det at 1 + 11 = 11 + 1 = 0.

Men endå ein gong, vent litt. Korleis veit vi at 1 + 11 = 11 + 1. Jo, ved å telje oss fram, så ser vi at det må bli slik. Sett av tala 0, 1, 2, …, 11 på ein sirkel slik du har det på eit ur og tel deg fram.

Men no går vi litt lenger i teorien enn berre å sjå kva vi får når vi legg til ein. Men eg trur at her er det litt som du kan eksperimentere med på eigahand. Du kan gå både fram, (dvs leggje tal i hop), og du kan gå bakover, trekkje tal frå kvarandre.